Conseils utiles

Comment dériver la formule d'énergie cinétique

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De quelle expression plus générale dérive la formule d'énergie cinétique?

La formule peut être déduite de la définition du travail comme différence d'énergies cinétiques A = Ek2-Ek1.

Et des formules: travail A = F * S (puissance * manière).

Depuis F = m * a alors A = m * a * S

De plus, à partir de l'accélération cinématique: a = (V2-V1) / t

S = (V2 + V1) * t / 2- chemin avec mouvement uniformément accéléré.

Nous substituons ces quantités dans la formule de travail: A = m * ((V2-V1) / t) * ((V2 + V1) * t / 2)

on réduit l'expression de t et les parenthèses avec la somme et la différence de vitesses, on se transforme en différence de carrés de vitesses:

Nous développons les crochets: A = m * V2 ^ 2/2 - m * V1 ^ 2/2.

Ainsi, la différence dans la dernière formule correspond à la toute première formule.

Nous obtenons des formules d'énergie cinétique en chaque point:

Ek2 = m * V2 ^ 2/2

Ek1 = m * V1 ^ 2/2

Premièrement, la formule d'énergie potentielle est dérivée et la formule d'énergie cinétique en est déjà dérivée. La formule de l'énergie potentielle a été reçue par Isaac Newton dans son célèbre livre "Principes mathématiques de la philosophie naturelle". Il raisonna grossièrement comme suit.

Laisse un objet sur ma paume. Je lèverai la paume avec l'objet très lentement et de manière uniforme, de sorte que la force de réaction de la paume N soit équilibrée par la gravité de l'objet P et que l'énergie cinétique soit pratiquement nulle en raison de la très faible vitesse. Où va le travail A = INT (P dh) = mgh, que je fais sur le sujet? Il se transforme en énergie potentielle latente de l'objet, qui peut se transformer en énergie cinétique claire si l'objet est autorisé à tomber librement.

Maintenant, regardez l'erreur que Newton a commise. Si plusieurs forces F1, F2, F3 et ainsi de suite agissent en même temps sur un objet, pour calculer l’énergie totale produite par toutes les forces ensemble, vous devez substituer la force résultante, et non une des forces particulières, sous le signe de l’intégrale. Et Newton a encadré le pouvoir privé, le pouvoir du poids. Etant donné que dans le cas considéré par lui, la force résultante est nulle (la force pondérale est équilibrée par la force de la réaction de la paume), un calcul correct indiquera un travail nul. Et si le travail est nul, l'énergie de l'objet ne change pas. Et si elle était égale à zéro au point de départ de la montée, elle restera égale à zéro quelle que soit la hauteur de la montée. En d'autres termes, l'énergie potentielle n'existe pas dans la nature. Mais dans la pratique, nous sommes bien conscients que la levée de tout objet lourd est accompagnée d’une dépense d’énergie. Donc, la conclusion à propos du travail zéro est fausse? Non, il a raison. C'est juste que le travail ne sera pas effectué sur l'objet à soulever, mais sur autre chose. Et la formule mgh ne décrit pas l'énergie potentielle d'un objet, mais l'énergie de quelque chose d'autre.

Passons maintenant à l'énergie cinétique. Dans la cinématique (science du mouvement uniforme et non uniforme), il existe une telle formule V1 - V0 V0 = 2aS pour le mouvement accéléré, où V0 est la vitesse initiale, V1 est la vitesse finale, a est l'accélération, S est la longueur du chemin parcouru. Si, au moment initial, la vitesse de l'objet V0 était égale à zéro, exprimant alors le produit de l'accélération par la longueur et le substituant à la formule d'énergie potentielle, nous obtenons mVV / 2, c'est-à-dire la formule d'énergie cinétique. Et maintenant nous allons raisonner. Si le complexe mgh ne décrit pas l'énergie potentielle de l'objet, mais autre chose, la formule mVV / 2 obtenue à partir de celle-ci décrira également non plus l'énergie cinétique de l'objet, mais l'énergie de quelque chose d'autre. Et quoi exactement - je vais essayer de l'expliquer maintenant.

Lorsque nous élevons un objet, nous ne surmontons pas la résistance de l'objet, mais du champ gravitationnel. Nous allons donc travailler sur le champ gravitationnel et augmenter son énergie de la valeur de E = mgh. Et lorsque nous lançons un objet, par son mouvement accéléré, nous déformons la structure du vide physique qui nous entoure, nous le travaillons et augmentons son énergie de E = mVV / 2. Ainsi, au lieu d'énergie potentielle, il y a l'énergie du champ gravitationnel, et au lieu de l'énergie cinétique, il y a l'énergie du vide physique.

9. Forces conservatrices et non conservatrices. Le lien entre le pouvoir et

énergie potentielle. Gradient d'énergie potentielle. La condition est

L’approche énergétique scalaire en mécanique est particulièrement fructueuse dans le cas du soi-disant conservateurles interactions, dans lequel le travail des forces stationnaires ne dépend pas de la forme de la trajectoire, mais est déterminé uniquement par les positions initiale et finale du corps.

les forces d'interaction gravitationnelle, les forces d'élasticité, mais non les forces de frottement et de résistance, sont conservatives. Pour les forces conservatrices, on peut introduire une caractéristique d'énergie telle queénergie potentiellequi est une fonction non ambiguë de coordonnées (position) et qui, associée à l'énergie cinétique - fonction des vitesses, forme l'énergie mécanique totale du corps (systèmes).

Contrairement à l'énergie cinétique Eà = m 2 2, fonction unique et uniformément exprimée des vitesses et, dans le sens, mesure dynamique dynamique du mouvement, énergie potentielle En - est une mesure scalaire des interactions conservatrices et n'a pas une expression uniforme à travers les coordonnées (position) du corps.

Forces conservatrices - forces dont le travail ne dépend pas de la forme de la trajectoire selon laquelle le corps se déplace et est déterminé aux points de début et de fin de la trajectoire, le travail de ces forces en boucle fermée = 0

Forces dissipatives - des forces dont le travail dépend de la forme de la trajectoire sur laquelle le corps se déplace.

L'interaction dans le résultat du chat entre les corps entraîne une force de sueur, qui est réalisée au moyen d'un champ de force de sueur.

La relation entre le pouvoir et l'énergie potentielle. Gradient d'énergie potentielle.

Sur le corps, la position dans le champ de sudation est déterminée par le vecteur rayon r: F = xi + yj + zk

Gradient - un opérateur montrant quelles actions doivent être effectuées avec une fonction scalaire. Est un vecteur dirigé vers l'augmentation la plus rapide de la fonction scalaire. Ensuite, la connexion entre F et En est formée comme suit: force = gradEn pris avec le signe opposé => F est dirigé vers le grad opposé.

Les forces qui dépendent uniquement des coordonnées (les forces qui ne dépendent pas du temps, sont dites stationnaires), peuvent être définies à l'aide de champs de force - zones de l'espace, en chaque point d'une certaine force agissant sur le corps. Des exemples de champs de force sont le champ gravitationnel et, en particulier, le champ de gravité, le champ électrostatique, etc.

Forces (et champs), travailUn12qui sur le trajet entre deux points quelconques 1 et 2 ne dépend pas de la forme de la trajectoire entre euxsont appelés potentielet s’ils sont immobiles, ils sont appelés àonservative. Potentiel sont tous homogène champs (à chaque point de ces champs la force est inchangée), ainsi que les champs forces centrales (Ils ne dépendent que de la distance entre les points en interaction et sont dirigés le long de la droite qui les relie).

Nous obtenons la formule pour la relation entre la force de tels champs et l'énergie potentielle. De la relation de travail avec l'énergie potentielle A12 = Fdr = Ep1 - En2 , ou, pour les travaux élémentaires: А = Fdr = - dЕn. Gardant à l'esprit que Fdr = Fsds, où ds = dr est le chemin élémentaire / déplacement /, et Fr = Fcos  - projection du vecteur F se déplacer drécrire: Frds = - dЕnoù - dЕn - il y a une diminution de l'énergie potentielle dans la direction du déplacement dr. À partir d'icir= -nR, la dérivée partielle r est prise dans une direction donnée.

Sous forme vectorielle, la relation différentielle de force avec l'énergie potentielle résultante peut s'écrire comme suit:

F = -(jeEnx + jEnU + kEnZ) = - gradn = - Enoù est l'opérateur du vecteur symbolique (la somme vectorielle des premières dérivées partielles par rapport aux coordonnées spatiales) est appelé opérateur Nabl ou dégradé fonction scalaire (dans ce cas, énergie potentielle).

Donc pouvoir F = - grad En = - En dans le champ potentiel, il existe un anti-gradient / gradient avec un signe moins / une énergie potentielle ou, sinon, la dérivée spatiale, la vitesse de diminution de l'énergie potentielle dans l'espace dans une certaine direction.

La signification du gradient peut être clarifiée en introduisant le concept desurface potentielle - dans tous les points dont énergie potentielle Ena la même signification, c'est-à-dire. En=const.

De la formule F = - En il en résulte que la projection du vecteur F à la direction de la tangente à la surface équipotentielle en tout point égal à zéro. Cela signifie que le vecteur F surface normale à équipotentielle En = const.

Si, de plus, prenez le dr drnalors dЕn 0, c'est-à-dire un vecteur F dirigé vers le bas En. Le gradient de En il existe un vecteur normal dirigé vers la surface équipotentielle dans la direction de l’augmentation la plus rapide de la fonction scalaire / ici - énergie potentielle /.

Par exemple, un champ gravitationnel dont la force est directement proportionnelle à la masse du corps, c.-à-d. F = m1m22r 2, nous pouvons supposer que chacun des corps en interaction se trouve dans le champ de force de l'autre: F = mМr 2 = gm, où g = Fm = Мr 2 est l'intensité du champ gravitationnel / spécifique force - calculée par unité de masse / créée par un corps de masse M.

La relation force-énergie potentielle est la suivante:

ou gdr = 1 - 2 où  = En/ m est le potentiel du champ gravitationnel, qui est la spécifique / par unité de masse / énergie potentielle.

Ou g = - grad  = -  est la formule pour la relation entre la tension et le potentiel du champ gravitationnel, la tension est l’antigradient du potentiel.

Laisser la particule se déplacer dans un champ de potentiel unidimensionnel dont le profil, c’est-à-dire la dépendance En (x) est présenté sur la figure sous la forme de ce qu'on appelle courbe de potentiel.

De la loi de conservation de l'énergie mécanique: E = Eà + En = m 2 2 + En/ x / = const, il en résulte que dans la région où En > E particule ne peut pas obtenir. Ainsi, si l’énergie totale E d’une particule est égale à E1 / voir fig. /, la particule peut alors se déplacer dans la région entre les coordonnées x1 et x2 (oscille dans cette région, appelée le puits de potentiel), ou dans la région, à droite de la coordonnée x3. Mais la particule ne peut pas aller de la région I à la région II ou inversement, une barrière de hauteur potentielle E empêche celab  E1séparant ces zones.

Particule d'énergie E2plus grande hauteur de la barrière potentielle (E2  Eb), peut se déplacer dans toute la zone à droite de xà propos de. Son énergie cinétique va augmenter (dans la région de xà propos de à x ), puis chute (dans la région de x  à x ) puis à nouveau dans la région x x .

Au point x il y a un équilibre stable, ici En = En min et Fx = -gradx En = -nх = 0. Lorsqu'un corps en est déplacé par dx 0, dЕn 0 et la force agit sur le corps

Fx = -nx 0, qui est un caractère qui ramène le corps à la position d'équilibre.

Au point x il y a un équilibre instable,

ici en = En max et F = - grad En = -nх = 0. Lorsqu'un corps en est déplacé par dx 0, dЕn 0, et la force F agit sur le corpsx = -nх 0, qui a un caractère qui dévie le corps de la position d'équilibre.

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